Existencia de solución de la ecuación de estado

Consideremos el espacio de Sobolev

$$V=H^1_{0,\; \Gamma_D}(\Omega)=\{ z\in H^1(\Omega)\;\vert\; z= 0\; \; \Gamma_D \},$$ (1)

con norma

$$\Vert z\Vert _V=\left(\sum_{i=1}^{n}\left\Vert\frac{\partial z} {\partial x_i}\right\Vert _{L^2(\Omega)}^2\right)^{1/2}.$$

Sea $\mathcal{D}(\overline{\Omega})$ el conjunto de las restricciones a $\Omega$ de las funciones en $C^\infty_0({\mathbb{R}}^n)$, luego, el espacio $H^1_{0,\; \Gamma_D}(\Omega)$ es caracterizado como siendo la clausura de $V_{0,\Gamma_D}=\{ z\in \mathcal{D}(\overline{\Omega})\;\vert\; z=0\;$ sobre una vecindad de $\overline{\Gamma_D}\}$ en $H^1(\Omega)$, es decir,

$$V=H^1_{0,\; \Gamma_D}(\Omega)=\Big[\overline{V_{0,\Gamma_D}}\Big]^{H^1(\Omega)}.$$

Para $y,z \in V$ y $\beta_i\in L^\infty(\Omega)$, definimos la forma bilineal y continua

$$a(y,z)=D\int_{\Omega}\nabla y \cdot\nabla z dx+\int_{\Omega}z \beta\cdot\nabla y dx.$$

Consideremos la terna de Hilbert $(V,H,V')$, donde $H=L^2(\Omega)$, y $V'$ es el espacio dual topológico de $V$. Tenemos la siguiente definición de solución de la ecuación de estado $(S)$.

Definición 1   Dado $f\in L^2(0,T; H^{1/2}(\Gamma_N))$, decimos que la función $z:(0,T)\rightarrow V,$ es una solución débil del sistema $(S)$, si $z$ verifica

$$\left(\dfrac{\partial z(t)}{\partial t}, w\right)+a(z(t),w)-(\lam... ...)= (v(t)\mathcal{X}_{\omega_T}(t), w)+\int_{\Gamma_N}f(t)w,\quad\forall w\in V.$$ (2)

Aquí $(\cdot,\cdot)$ representa el producto interno de $L^2(\Omega)$.

El segundo término de (3.2) es una funcional lineal y continua en $L^2(0,T;V)$. De los métodos convencionales para problemas de ecuaciones diferenciales de tipo parabólico, tenemos la validez del siguiente teorema.

Teorema 1   Dados $f\in L^2(0,T; H^{1/2}(\Gamma_N)), v\in L^2(\omega_T)$ existe una única solución débil $z$ de $(S)$ tal que

$$z\in L^2(0,T; V\cap H^2(\Omega))\;\cap\; C^0(0,T; H^1(\Omega))\;\cap\; C^1(0,T; L^2(\Omega)).$$

Del Teorema 1 podemos afirmar que la aplicación

$$t\rightarrow z(t)=z(t;v)$$   es continua de$$\quad [0,T]\rightarrow L^2(\Omega).$$

Por lo tanto, $z(\cdot,T,v)\in L^2(\Omega)$. Esto implica que para cada control $v\in L^2(\omega_T)$, existe un único correspondiente $z$. En general el lema siguiente es válido.

Lema 1   si $v\in L^2(\omega_T)$, entonces la única solución $z(x,t;v)$ de la ecuación de estado $(S)$ es una aplicación afín, es decir

$$v\rightarrow z(x,t;v)-z(x,t;0)$$

es una aplicación lineal.

El Lema (1) implica que el problema de control $(P)$ puede ser escrito en la forma reducida

$$\displaystyle\min_{\ v\; \in\; \mathcal{U}_{ad}} \tilde{J\;}(v)=J(v,z(v)),$$ (3)

donde $z(v)=z(x,t;v)$.