Una $\Psi $- extensión.

En [6], A. Torchinsky ha considerado a los espacios $BMO_{\varphi } $ (pag.220; 6.20) y posteriormente obtuvo una versión de la desigualdad de John-Nirenberg generalizada; algunos detalles y casos particulares de esta versión puede verse en [3] , pag.153. Brevemente veamos algunos argumentos. Sea $\varphi (t)$ una función continua, no-decreciente, de valor real tal que $\varphi(0) = 0 $. $BMO_{\varphi } $ es definido como en la sección 2 siendo la seminorma

$\displaystyle \Vert f \Vert_{BMO_{\alpha}} \equiv \Vert f \Vert_{\ast ,\varphi}...
...phi ( \vert Q \mid)} \frac{1}{\vert Q \mid} \int_{Q} \vert f(x)-f_{Q} \vert dx $

Torchinsky considera la función $\Psi_{\lambda} (t) = \displaystyle \int^{2^{n}\lambda}_{t} \varphi (y) \frac{dy}{y}$ y obtiene el

Teorema 3 ($\Psi $)   Sea $f \in BMO_{\varphi} $. Si $\displaystyle \lim_{t\rightarrow o^{+} } \Psi _{\lambda}(t)= + \infty $, entonces existe una constante $c $ tal que para todo $Q \subset Q_{o} $ se tiene

$w(\alpha) \equiv \displaystyle \left\vert \left \lbrace x \in Q/ \vert f(x)-f_{...
...1}_{\vert Q \vert} \left( \frac{\alpha}{\Vert f \Vert}_{\ast, \varphi} \right) $.
En consecuencia se tiene la proposición

Proposición 2   Sea $\varphi(t) = \eta \left(log \left( \frac{1}{t} \right) \right) $, donde $\eta(t) = \Phi'(t)$ siendo $\Phi(t) $ una función derivable, no-decreciente con $\Phi(0) = 0$. Si

$\displaystyle \Psi_{\vert Q \vert}(t) =
\int^{2^{n} \vert Q \vert}_{t} \eta \left(log \left( \frac{1}{y} \right) \right) \frac{dy}{y},$

entonces se tiene $\Psi^{-1}_{\vert Q \vert}(t) \leq ce^{-\frac{1}{2} \Phi^{-1}(t)} \cdot \vert Q \vert $.



Corolario 1 (Recuperación de la desigualdad de John-Nirenberg para BMO)   . Sea $\eta(y) = 1$ y $\varphi(t) = 1 $ ; como $\Phi $ es tal que $\Phi'(t) = 1$ se tiene que $\Phi(t) = t$, esto es, $\Phi^{-1}(t) = t$. Entonces ,

$\Psi^{-1}_{\vert Q \vert}(t) \leq ce^{-\frac{1}{2} \Phi^{-1}(t)} \cdot \vert Q \vert = ce^{-\frac{1}{2}t} \cdot \vert Q \vert $,

y por el teorema $-\Psi $ tenemos

$w(\alpha) \leq \displaystyle c \Psi^{-1}_{\vert Q \vert} \left( \frac{\alpha}{\...
...ce^{-\frac{1}{2} \alpha \Vert f \Vert^{-1}_{\ast,\varphi}} \cdot \vert Q \vert $,

que es la desigualdad de John-Nirenberg para BMO. $\centerdot $



Agradecimiento. El autor expresa su agradecimiento al Prof. Alberto Torchinsky, quien propuso la extensión mencionada y nos guió en la elaboración de esta nota $(\left[ 5 \right] ) $ pero asumimos la entera responsabilidad de la misma.