Extensión de la Desigualdad de John-Nirenberg

La parte inmediata es el

Lema 2   Sea $f \in L^{1}(Q) $, $\alpha > 0 $ real, tal que para todo $Q \subset Q_{o} $ se le asocia un número $c_{Q} $ tal que $E_{\alpha} = \left\lbrace x \in Q / \vert f(x)-c_{Q}\vert > \alpha \right\rbrace $ satisface

$w(\alpha) = \vert E_{\alpha}\vert \leq Ae^{-b\alpha} \varphi(2^{-kn}\vert Q \vert)\vert Q \vert $,

con $k \in Z^{+} $, $A, b $ constantes positivas. Entonces, $f \in BMO_{\varphi} $.

Prueba.

$\displaystyle \int_{Q} \vert f(x) - c_{Q} \vert dx = \int^{\infty}_{o}w(\alpha)...
...\varphi (2^{-kn\vert Q \vert}) \int^{\infty}_{o} e^{-b\alpha} dx \vert Q \vert $

$\leq A_{1}\varphi(\vert Q \vert) \vert Q \vert \centerdot $

La prueba del recíproco de este lema 2 es el objetivo de esta nota.

Teorema 2 ($\varphi $)   Si $f \in BMO_{\varphi} $ y $\alpha > 0 $ real, entonces

$w(\alpha) = \vert \left\lbrace x\in Q_{o} / \vert f(x) - f_{Q_{o}} \vert > \alp...
...{-1} _{BMO_{\varphi}} } . \varphi (2^{-kn}\vert Q_{o} \vert) \vert Q_{o} \vert $

donde $A = cA_{1} $ con $A_{1}= 2^{2^{{\frac{n}{n+1}+n}}} $, $c > 0 $ (independiente de k), $b = \displaystyle \frac{n}{2^{n+1}}log 2 $, $k = \left[ \displaystyle \frac{\alpha - 1} {2^{n+1}} \right] $ $$ (parte entera).



Previamente veamos algunos convenios como asumir que $\Vert f \Vert_{BMO_{\varphi}} = 1 $. Así mismo, observemos:

de

$\displaystyle \frac{1}{\varphi (\vert Q \vert ) }
\frac{1}{\vert Q \vert} \int _{Q} \vert f(x) - f_{Q} \vert dx \leq M < \infty $

ó

$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\varphi( \vert Q \vert ) } \frac{1}{\vert Q \vert} \int _{Q} \left\vert \frac{f(x)-f_{Q}}{M} \right\vert dx \leq 1 $

se puede asumir que, redefiniendo $f $ en $BMO_{\varphi } $, $f_{Q} = 0 $ y $M = 1$. Por otro lado, si $\vert Q_{o} \vert = a \neq 1 $ y si $d $ es la longitud del lado de $Q_{o} $, tendremos $\left(\frac{d}{b} \right)^{n} = 1 $ con $b = \sqrt[n]{a} $, y se puede asumir que $\vert Q_{o}\vert = 1 $; también se puede asumir que $\varphi(\vert Q_{o} \vert)= \varphi(1) = 1$, pues si $\varphi(1) = c \neq 1 $ , $\displaystyle \varphi_{1}(t)=\frac{\varphi (t)}{c} $ tiene las mismas características que $\varphi $.

La prueba del teorema se hará por etapas en donde es fundamental el lema de Calderón-Zygmund.

Lema 3 (Descomposición de Calderón-Zygmund)   . Sea $f $ una función integrable definida en un cubo $Q_{o} $ y sea $\lambda>0 $ real tal que $\displaystyle \frac{1}{\vert Q_{o}\vert} \int_{Q_{o}} \vert f(x)\vert dx \leq \lambda $. Entonces existe una familia enumerable $\lbrace Q_{k}\rbrace $ de cubos abiertos disjuntos en $Q_{o} $ tal que:

(a). $\vert f(x)\vert \leq \lambda $ c.t.p. si $\displaystyle x \in Q_{o} - \bigcup _{k}Q_{k}$ ;

(b) $\displaystyle \lambda < \frac{1}{\vert Q_{k}\vert} \int_{Q_{k}} \vert f(x)\vert dx \leq 2^{n}\lambda $;

(c). $\displaystyle \sum_{k} \vert Q _{k} \vert < \frac{1}{\lambda} \int_{Q_{o}} \vert f(x)\vert dx $.

Esta fundamental descomposición fue introducida por Calderón-Zygmund en 1952 en un fundamental trabajo sobre integrales singulares. Por razones didácticas ofrecemos su demostración. Veamos. Dividamos $Q_{o} $ en $2^{n} $ cubos abiertos congruentes (dividiendo por 2 sus lados). Con estos subcubos se presentan dos casos:

(I). $\displaystyle \frac{1}{\vert Q'_{i}\vert} \int_{Q'_{i}} \vert f(x)\vert dx > \lambda $; (II). $\displaystyle \frac{1}{\vert Q''_{i}\vert} \int_{Q''_{i}} \vert f(x)\vert dx \leq \lambda $ .

Conservemos los cubos $Q'_{i}$ que satisfacen (I) (que es parte de (b)), mientras que los cubos $Q''_{i}$, que satisfacen (II), son sometidos al anterior proceso, esto es, son divididos en $2^{n} $ nuevos subcubos congruentes, dando origen a una nueva generación de cubos en donde nuevamente tenemos

(I). $\displaystyle \frac{1}{\vert Q'_{ii}\vert} \int_{Q'_{ii}} \vert f(x)\vert dx > \lambda $; (II). $\displaystyle \frac{1}{\vert Q''_{ii}\vert} \int_{Q''_{ii}} \vert f(x)\vert dx \leq \lambda $ .

Retenemos los cubos $Q'_{ii}$, mientras los $Q''_{ii}$ son sometidos otra vez al anterior proceso. Y así sucesivamente ... De esta manera, renumerando obtenemos familias de cubos abiertos disjuntos, de distintas generaciones $Q_{1},Q_{2},..., Q_{k} $,... tal que

$\lambda \displaystyle \vert Q_{k} \vert < \int_{Q_{k}} \vert f(x)\vert dx \leq 2^{n} \lambda \vert Q_{k} \vert $ lo que implica (b).

Por otro lado, $\displaystyle \vert Q_{k} \vert < \frac{1}{\lambda} \int_{Q_{k}} \vert f(x)\vert dx $, de donde $\displaystyle \sum_{k} \vert Q _{k} \vert < \frac{1}{\lambda} \int_{Q_{o}} \vert f(x)\vert dx $, que es (c).

Finalmente, sea $\displaystyle x \in Q_{o} - \bigcup _{k}Q_{k}$, esto es, $x $ pertenece a algún cubo del tipo $Q''_{k} $, donde (por construcción) $\vert Q''_{k}\vert \longrightarrow 0 $ cuando $k \longrightarrow \infty $. Como tenemos

$\displaystyle \frac{1}{\vert Q''_{k}\vert} \int_{Q''_{k}} \vert f(y)\vert dy \leq \lambda $ ,

por el teorema de diferenciación de Lebesgue se tiene

$\vert f(x) \vert = \displaystyle \lim_{k \longrightarrow \infty} \frac{1}{\vert Q''_{k}\vert} \int_{Q''_{k}} \vert f(y)\vert dy \leq \lambda $, c.t.p. Esto es (a). $\centerdot $

En la ruta hacia el teorema $-\varphi $ se tiene el

Lema 4   Sea $\alpha > 0 $ un real dado y $f \in BMO_{\varphi} $. Si $\displaystyle \frac{1}{\vert Q_{o}\vert} \int_{Q_{o}} \vert f(x)\vert dx < \alpha $,

entonces se tiene $\alpha < \displaystyle \frac{1}{\vert C \vert} \int_{C} \vert f(x)\vert dx \leq \alpha + 2^{n} \varphi (2^{n} \vert C \vert) $

donde $C \in D_{\alpha} $, siendo $D_{\alpha}$ la unión de los cubos diádicos disjuntos que aparecen en el lema 3.

Prueba. Por el lema 3 se tiene $\alpha < \displaystyle \frac{1}{\vert C \vert} \int_{C} \vert f(x)\vert dx \leq 2^{n} \alpha $, $\forall C \in D_{\alpha}$.

Desde que por hipótesis se tiene $\displaystyle \frac{1}{\vert Q_{o}\vert} \int_{Q_{o}} \vert f(x)\vert dx < \alpha $, entonces $C\neq Q_{o} $. Luego, $C$ fue obtenido a partir de una descomposición diádica de un cubo más grande, que llamaremos $C_{o} $, el cual satisface

$\displaystyle \frac{1}{\vert C_{o}\vert} \int_{C_{o}} \vert f(x)\vert dx \leq \alpha $, (esto es, $\vert f_{C_{o}}\vert \leq \alpha $. Entonces,

$\displaystyle \frac{1}{\vert C \vert} \int _{C} \vert f(x)\vert dx \leq \frac{1...
...\leq 2^{n}\varphi (2^{n} \vert C \vert )\Vert f \Vert_{BMO_{\varphi}} + \alpha $.

Nota. De $2^{n} \vert C \vert \leq \vert Q_{o} \vert = 1$ se observa que $\varphi (2^{n} \vert C \vert) \leq 1 $, luego se obtiene $\alpha < \displaystyle \frac{1}{\vert C \vert} \int _{C} \vert f(x)\vert dx \leq \alpha + 2^{n} $, un resultado debido a U. Neri (1976).

Lema 5   Si $\tilde{\alpha} = \alpha + 2^{n+1} $, entonces $D_{\tilde{\alpha}} \subset D_{\alpha} $ y se tiene

$\displaystyle \vert D_{\tilde{\alpha}} \vert \leq 2^{-n} \vert D_{\alpha} \vert \varphi (\vert D_{\alpha} \vert) $

.

Prueba. En general, del lema 3 se obtiene: si $\alpha < \alpha' $ entonces $D_{\alpha'} \subset D_{\alpha} $. Por otro si $C \in D_{\alpha} $ es arbitrario, entonces por la nota se tiene

$\displaystyle \frac{1}{\vert C \vert} \int _{C} \vert f(x)\vert dx \leq \alpha + 2^{n} \leq \tilde{\alpha} $

lo que significa que $C$ fue subdividido en la descomposición correspondiente a $D_{\tilde\alpha}$.

Pongamos $D^\prime = D_{\tilde\alpha} \bigcap C.$

Ahora, un argumento geométrico en el lema 3 permite ver que $D^\prime = \phi$ ó que $D^\prime$ es la unión de cubos disjuntos en $D_{\tilde{\alpha}}.
$

Además se tiene,

$\tilde{\alpha} < \displaystyle \frac{1}{\vert D' \vert} \int _{D'} \vert f(x)\vert dx \leq \frac{1}{\vert D' \vert} \int _{D'} \vert f(x)-f_{C} \vert dx + $ $\frac{1}{\vert D'\vert} \vert D'\vert \vert f_{C} \vert $

$\displaystyle \leq \frac{1}{\vert D' \vert} \int _{C} \vert f(x)-f_{C} \vert dx...
...rac{\vert C \vert \varphi ( \vert C \vert )}{\vert D' \vert } + \alpha + 2^{n} $.

Es decir, se tiene

$\displaystyle \alpha + 2^{n+1} \leq \frac{\vert C \vert \varphi ( \vert C \vert )}{\vert D' \vert } + \alpha + 2^{n} $, esto es,

$\vert D' \vert \leq 2^{-n} \vert C \vert \varphi (\vert C \vert) $. Luego,

$\displaystyle \vert D_{\tilde{\alpha}} \vert = \sum \vert D' \vert \leq 2^{-n} ...
...{-n} \varphi ( \vert D_{\alpha} \vert ) \sum _{C \in D_{\alpha}} \vert C \vert $

$\leq 2^{-n} \varphi (\vert D_{\alpha} \vert ) \vert D_{\alpha} \vert $. $\centerdot $

Prueba del Teorema $-\varphi $. Pongamos $\displaystyle k = \left[\frac{\alpha - 1}{2^{n+1}} \right] $; entonces, si $\alpha_{1}= 1 + k 2^{n+1} $ se tiene $1 \leq \alpha_{1} \leq \alpha $, de donde $w(\alpha) = \vert E_{\alpha}\vert \leq \vert E_{\alpha_{1}}\vert = $ (lema 3) $= \vert D_{\alpha _{1}}\vert = \vert D_{1+k2^{n+1}} \vert $.

Aplicando reiteradamente el lema 5, luego de $k $ pasos, se obtiene

$\vert D_{1+k2^{n+1}} \vert \leq 2^{-n} \vert D_{1+(k-1)2^{n+1}} \vert \varphi ( \vert D_{1+(k-1)2^{n+1}} \vert ) \leq $

$\displaystyle 2^{-2n} \vert D_{1+(k-2)2^{n+1}} \vert \varphi ( \vert D_{1+(k-2)...
...ert D_{1+(k-2)2^{n+1}} \vert \varphi ( \vert D_{1+(k-2)2^{n+1}} \vert )\right) $
$\leq $ (desde que $\varphi $ es no-decreciente y $\displaystyle \varphi (\vert D_{1+(k-2)2^{n+1}} \vert)< \varphi ( \vert Q_{o} \vert) = 1 ) $
$\leq 2^{-2n} \vert D_{1+(k-2)2^{n+1}} \vert \varphi (2^{-n} \vert D_{1+(k-2)2^{...
... \leq ... \leq c 2^{-kn} \vert D_{1} \vert \varphi (2^{-kn} \vert D_{1} \vert )$
$\leq c 2^{-kn} \varphi (2^{-kn} \vert Q_{o} \vert) \vert Q_{o} \vert $.

En conclusión se ha obtenido $w(\alpha) \leq c2^{-kn} \varphi (2^{-kn} \vert Q_{o} \vert ) \vert Q_{o} \vert $.

Por otro lado, se sabe que

$\displaystyle \frac{\alpha - 1}{2^{n+1}} \leq k + 1 $, luego $-nk \leq -n \left( \frac{\alpha - 1}{2^{n+1}} -1 \right) $, de donde $2^{-kn} \leq 2^{-n \left( \frac{\alpha - 1}{2^{n+1}} -1 \right)} $.

Y así finalmente se tiene

$\displaystyle w(\alpha) \leq c2^{\frac{n}{2^{n+1}}+n} \cdot 2^{-\alpha \cdot \frac{n}{2^{n+1}}} \varphi (2^{-kn} \vert Q_{o} \vert ) \vert Q_{o} \vert $

la cual es la tesis

$\displaystyle w(\alpha) \leq Ae^{-b\alpha \Vert f \Vert^{-1}_{BMO_{\alpha}} } \cdot \varphi (2^{-kn} \vert Q_{o} \vert ) \vert Q_{o} \vert $

con

$\displaystyle A = c A_{1},\quad
A_{1} = 2^{\frac{n}{2^{n+1}}+n},\qquad
b = \frac{n}{2^{n+1}} log 2 .$