Espacios $BMO_{\varphi }$.

Sea $\varphi (t)$ una función positiva, no-decreciente, definida sobre $R^{+}$. Por definición,

$BMO_{\varphi} = \left\lbrace f \in L^{1}(Q_{o})/ \left[ f \right] _{BMO_{\varph... ...}\displaystyle\int_{Q} \vert f(x)-C_{Q}\vert dx \leq M < \infty \right \rbrace$

donde los cubos son asumidos de medida finita y lados paralelos a los ejes coordenados. Podemos usar $f_{Q}$ en vez de la constante $C_{Q}$. Estos espacios $BMO_{\varphi }$ fueron inicialmente considerados por S. Spanne en 1965. (Ver [4]). Se verifica que formas particulares de $\varphi$ hacen coincidir isomorficamente $BMO_{\varphi }$ con algunos clásicos espacios de funciones. Veamos,

$\bullet$ si $\varphi(t) = 1$, $BMO_{\varphi} =$ $BMO$;

$\bullet$ si $\varphi(t) = t^{\alpha}$, $0 <\alpha < 1$, entonces $BMO_{\varphi} = \bigwedge_{\alpha}$, donde $\bigwedge_{\alpha}$ es el espacio de Lipschitz

$\bigwedge_{\alpha} = \lbrace f \in L^{\infty} / \Vert f \Vert_{\bigwedge_{\alph... ...,y} \frac{ \vert f(x) - f(y)\vert}{\vert x-y \vert ^{\alpha}} < \infty \rbrace$;

Si $-1 < \alpha < 0$, entonces $BMO_{\varphi} = L^{p,\lambda}$, con $\alpha = - \frac{\lambda}{p}$, donde $L^{p,\lambda}$ es el espacio de Morrey

$L^{p,\lambda} = \left\lbrace f \in L^{1} (Q_{o})/ \Vert f \Vert_{L^{p,\lambda}... ...}} \int _{Q} \vert f(x)\vert ^{p}dx \right\rbrace^{1/p} \right\rbrace < \infty$,

donde $r$ es la longitud del lado de $Q$, $1 \leq p < \infty$.

Si $$\lim_{r \longrightarrow 0} \varphi(r)= a\neq 0$$, entonces $L^{\infty} \subset BMO_{\varphi}$ .