Los Espacios BMO. Desigualdad de John-Nirenberg.

Los espacios de oscilación media acotadas, espacios BMO, fueron introducidos por F. John- L. Nirenberg en 1961 [1] ; estos espacios fueron, y son, importantes en el desarrollo del análisis armónico. Por definición,
$BMO = \left\lbrace f \in L^{1}(Q_{o})/\left[ f\right] _{BMO} \equiv \displaysty...
...} \displaystyle\int_{Q} \vert f(x)-f_{Q}\vert dx \leq M < \infty \right\rbrace $
donde $Q_{o} $ es un cubo fijo en $R^n,Q_{o},Q $ son cubos con lados paralelos a los ejes coordenados, $f_{Q} = \frac{1}{\vert Q \mid}\displaystyle \int_{Q}f $; $\mid Q \mid $ medida de Lebesgue de $Q $.

Con la norma $\Vert f \Vert_{BMO} = \Vert f \Vert_{L^{1}(Q_{o})} + \left[f \right]_{BMO} $, BMO es un espacio de Banach. Remarcamos que en la definición de BMO, en vez del promedio $f_{Q}$ se podría usar constantes o polinomios.

Proposición 1   $L^{\infty} \subset BMO $ (toda función acotada en $Q_{o} $ está en BMO) con inclusión estricta

pues se tiene $log \mid x\mid \in BMO$ . (Ver [2], pag.89).

Se tiene el siguiente argumento. “Sea $f \in L^{1}(Q) $ tal que para todo cubo $Q $ se le asocia un número real $c_{Q} $ tal que el conjunto $E_{\alpha} = \left\lbrace x \in Q / \vert f(x)-c_{Q}\vert > \alpha \right\rbrace $ satisface

$\displaystyle w(\alpha)= \vert E_{\alpha} \vert \leq Ae^{-b\alpha} \vert Q \vert \qquad \qquad \qquad (*)$

donde $\alpha > 0 $ real; $A, b $ son apropiadas constantes. Entonces $f \in BMO $.”

La prueba del argumento (*) descansa en el siguiente resultado.

Lema 1   Sea $g(t), t\geq 0 $, una función continuamente diferenciable en $[0, \infty ) $ tal que $g(0) = 0$,

entonces $\displaystyle \int_{Q} g(\vert f(x)- c \vert )dx = \displaystyle \int ^{\infty}_{o} w(\alpha)dg(\alpha) $.

Prueba de (*). Si $g(t) = t$, $\displaystyle \int_{Q} \vert f(x)-c_{Q} \vert dx = \displaystyle \int ^{\infty}_{o} w(\alpha)d(\alpha) $ $$

$\leq A \vert Q \vert \displaystyle \int ^{\infty}_{o} e^{-b\alpha} d\alpha= \dfrac{A}{\alpha} \vert Q \vert$. Luego, $f \in BMO \centerdot$

La parte crucial es el reciproco de este resultado, es el teorema de John-Nirenberg.

Teorema 1 (J-N)   . “Si $f \in BMO $, entonces $w(\alpha)\leqslant Ae^{-b\alpha \Vert f \Vert^{-1}_{BMO} } \vert Q_{o} \vert $ , donde $\alpha > 0 $; $A, b > 0 $ son apropiadas constantes que dependen de $n$. ”


(Para la prueba de este resultado ver, por ejemplo, [2], pag. 92).