La obra de Fourier podría ser el punto de partida en la evolución de las ideas que han de conducir a las ondículas. Sin embargo, por razones de completitud histórica presentamos una exposición de ideas matemáticas desde los albores hasta inicios del siglo XIX, época en que Fourier publica su obra sobre la aplicación de las series trigonométricas en el estudio de la conducción del calor.
La matemática es una ciencia pura que se retroalimenta de sus aplicaciones al mundo objetivo y de los problemas que éste le plantea. Aún cuando en su esencia ella contiene profundas ideas teóricas, su proyección al mundo físico es impresionantemente compatible en la solución de simples y delicados problemas. Esto fue característica de la matemática desde sus inicios y seguramente lo será en el futuro. Las grandes ideas matemáticas han encontrado, temprano o tarde, aplicaciones. Recordemos a la aritmética binaria de Boole. Aún si esto no se produjera, tales teorías son una prueba de la fuerza creadora del pensamiento humano, y esto es también importante aceptar.
En el amanecer de la humanidad el hombre, posiblemente, tuvo la idea de la cantidad y forma; dos ideas básicas, una aritmética y la otra geométrica. La necesidad de objetivizar cuantos ejemplares poseía de algo, debe haberle inducido a la creación de los primeros números naturales. La contemplación de una noche de Luna llena debe haberle dado la idea del círculo.
Tales de Mileto (640 - 546 A. C.), en los inicios de la cultura griega, usa la matemática para predecir eclipses y resolver ingeniosos problemas geométricos (cálculo de la altura de una pirámide de Egipto). Euclides sistematiza la geometría en sus “Elementos”. Arquímedes, considerado como una de las pocas mentes universales de todos los tiempos, hizo contribuciones fundamentales, tanto en la matemática pura como en la aplicada. Estuvo muy cerca de descubrir el cálculo integral. Es lamentable que todo el gran avance matemático logrado en este periodo entrara en una etapa histórica muy larga (Edad Media) en donde se hizo pocos y aislados avances.
La ciencia moderna nace en el siglo XVI bajo la influencia de mentes, entre otras, como Galileo, Descartes, Kepler, Leibniz y sobre todo por la obra de Newton. Galileo tuvo el don de la originalidad y de comprender el mundo físico que pisaba. Fue notable físico, astrónomo y matemático. Usa la matemática como lenguaje científico para estudiar al mundo físico. Descartes tuvo la revelación de unir la geometría de los antiguos griegos con la naciente álgebra. En 1619 nace la geometría analítica la que ha de contribuir al desarrollo de la matemática. Kepler, quien tuvo dos continuos obstáculos en su vida: la pobreza y la enfermedad, hizo valiosas contribuciones a la mecánica celeste. Sus hermosas leyes sobre los planetas son finos argumentos matemáticos.
Godofredo Leibniz es un ejemplo excepcional de la inteligencia humana, fue famoso como filósofo y matemático así como en otras áreas del conocimiento. Inventó una máquina para calcular, siendo así precursor de las actuales computadoras. En 1677 publica su trabajo sobre el cálculo diferencial; posiblemente sus motivaciones fueron más de carácter filosófico, al contrario de Newton, quien también publicó sobre el cálculo diferencial e integral con las motivaciones de un físico.
Siendo aún muy joven, Isaac Newton (1642-1727) estudió tres delicados problemas: el cálculo diferencial e integral, la teoría de los colores y la ley de la gravitación universal. Cualquiera que hubiera resuelto uno de los tres problemas hubiera pasado a la historia de la ciencia. El joven Newton resolvió las tres cuestiones.
El cálculo diferencial e integral contribuyó poderosamente en el desarrollo de nuevas ideas matemáticas. Fue una feliz creación matemática, sobre todo por sus aplicaciones al desarrollo de la física y de la astronomía. Sus posteriores aplicaciones a la ingeniería fue fundamental en el desarrollo en la naciente tecnología. Newton fue el científico con la mentalidad del físico; la matemática fue su lenguaje para interpretar problemas de la mecánica, de la astronomía y de la óptica.
Creado el cálculo en el siglo XVII, la ciencia del siglo XVIII fue el desarrollo de la mecánica y de la evolución de nuevas ideas en el mismo cálculo diferencial y en otras áreas matemáticas; es decir, esencialmente es la continuación de la gran obra de Newton. Fue una pléyade de matemáticos los encargados de realizar tal tarea. Entre otros, mencionemos algunos nombres. La familia Bernoulli, en varias generaciones, contribuyó en la solución de diversos problemas en el cálculo. Leonardo Euler, notable matemático, trabajó en la sistematización del cálculo, en la teoría de números y otros campos; fue un científico de gran producción matemática. Este siglo XVIII se caracteriza por el uso de métodos analíticos en los razonamientos matemáticos. Lagrange fue uno de sus dignos representantes, su Mecánica Analítica hizo época y fue una obra vital en el surgimiento de nuevas publicaciones. Algo similar fue la Mecánica Celeste de Laplace en astronomía. El trío de esta Escuela Francesa se completa con Legendre, quien contribuyó en el cálculo integral y en la teoría de números.
A fines de este siglo XVIII, la matemática en general va entrando en el umbral que ha de conducir al análisis matemático en el siglo XIX. Los aportes de los matemáticos mencionados, y de otros, fueron fundamentales para el desenvolvimiento de ideas que irían preparando el terreno para métodos y teorías más rigurosas y elegantes.
En la orientación que nos interesa (encontrar las primeras ideas que nos conducirían a las ondículas) mencionemos que a fines del siglo XVIII y comienzos del XIX, la física matemática se enfrenta con la solución de problemas de ecuaciones en derivadas parciales. Es importante comprender, para entender mejor la obra de Fourier, que las ideas matemáticas en el cálculo no eran del todo rigurosas. Por ejemplo, la idea de función no era muy clara; el concepto de límite no estaba formalizada y por tanto las ideas de derivadas e integral no eran tan rigurosas, lo que a su vez implicaba que cualquier teoría que hiciera uso de tales conceptos tuviera algunos problemas de consistencia.
Esto ocurrió con la famosa obra de Fourier, “La Teoría Analítica del Calor”, la que hace uso de series trigonométricas y en donde se vislumbran algunas ideas de lo que serían las ondículas en el futuro.
