Formulación del problema para la estructura

En esta sección se formulará el problema de la estructura en el marco Lagrangiano Sea $\hat{u}_e:\hat{\Omega}_e\rightarrow \mathbb{R}^2$, un campo de deformación diferenciable en el dominio de referencia $\hat{\Omega}_e$, $\hat{v}_e=d_t\hat{u}_e$ la velocidad material, $\hat{E}$ el módulo de Young, $\hat{\eta}$ viscosidad del tejido; además $\sigma_e$ es el tensor de tensiones en coordenadas Euleriana, $\hat{\Sigma}$ el segundo tensor de Piola Kirchhoff (ver definición 4.5).



Debido a la presencia de propiedades viscosas y elásticas del tejido, cuando se deforman. Se supondrá que la estructura (los tejidos alrededor del alvéolo) se comporta como un material viscoelástico. Aquí, la deformación depende del tiempo; y el tensor de tensiones depende tanto de la deformación como de la velocidad de deformación ([14]). Además, se asumirá que la deformación es en forma homogénea. Entonces, según Dailey y Ghadiali ([4]), esta estructura estará modelada por la ecuación de equilibrio

$\displaystyle \widehat{div}(\hat{F}_e\hat{\Sigma}) = 0$



Supóngase que $\hat{\Gamma}_e^D$ se mantiene fija, es decir, $\hat{\Gamma}_e^D$ no sufre deformación, vea la figura 3.1. Con esta condición, $\hat{u}_e=0$, y esto implica que $\hat{v}_e=0$ sobre $\hat{\Gamma}_e^D$.



La frontera $\hat{\Gamma}_e^N$ si sufre deformación, vea la figura 3.1; pero aquí, se impondrá la condición sobre las tensiones en la dirección del vector normal $\vec{n}_e$, que se formula como: $\sigma_e\cdot\vec{n}_e=0$, (en coordenadas Eulerianas), y que en el marco Lagrangiano se expresa de la siguiente manera $\hat{F}_e\hat{\Sigma}\cdot\hat{\vec{n}}_e=0$.



Por otro lado, para las condiciones iniciales $\hat{u}_e$ y $\hat{v}_e$, se asumirá que sobre $\hat{\Omega}_e$, $\hat{u}_e(\hat{x},0)=\hat{u}_e^{0}(\hat{x})$ y $\hat{v}_e(\hat{x},0)=\hat{v}_e^{0}(\hat{x})$. Con respecto al tensor de tensiones, $\sigma_e$, satisface la ley constitutiva de Kelvin-Voigt, es decir

$\displaystyle \sigma_e=E\varepsilon+\eta\frac{d}{dt}\varepsilon$

con

$\displaystyle \varepsilon=\frac{1}{2}(\hat{\nabla}\hat{u}_e+\hat{\nabla}\hat{u}_e^T)$

y

$\displaystyle \frac{d}{dt}\varepsilon=\frac{1}{2}(\hat{\nabla}\hat{v}_e+\hat{\nabla}\hat{v}_e^T)$

Por lo tanto, el problema de la estructura en el marco Lagrangiano, se expresa matemáticamente como:

\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{rclcl}
\widehat{div}(\hat{F}_e\hat{\Sig...
...= & 0 & & \textrm{ en } \hat{\Gamma}_e^N \\
\end{array}\right.\end{displaymath} (3)

donde

$\displaystyle \hat{F}_e\hat{\Sigma}=\hat{J}_e\hat{\sigma}_e\hat{F}_e^{-T}$ (4)

$\displaystyle \hat{\sigma}_e=\frac{\hat{E}}{2}(\hat{\nabla}\hat{u}_e\hat{F}_e^{...
...}{2}(\hat{\nabla}\hat{v}_e\hat{F}_e^{-1}+\hat{F}_e^{-T}\hat{\nabla}\hat{v}_e^T)$

Por lo tanto

$\displaystyle \hat{F}_e\hat{\Sigma}=\frac{\hat{E}}{2}(\hat{\nabla}\hat{u}_e\hat...
...}_e\hat{F}_e^{-T}+\hat{F}_e^{-T}\hat{\nabla}\hat{v}_e^T\hat{J}_e\hat{F}_e^{-T})$ (5)