Extensión del dominio de la Función Gamma

En la sección 2.1 se probó la existencia de $\Gamma$ para valores positivos de la variable $x$. Ahora extenderemos su dominio a $\mathbb{R} \backslash \{ \mathbb{Z}^{-}\cup \{0\}\}$.

Proposición 2.4   La función Gamma $\Gamma(x)=\displaystyle \int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt$ es válida para todo número real $x$ excepto $\mathbb{Z}^{-}\cup \{0\}.$

Demostración. Se observa que que $\Gamma(m)$ son infinitos para todo $m \in \mathbb{Z^{-}}\cup \{0\}$. Además, Para cualquier otro valor negativo de $x,$ se puede calcular $\Gamma(x)$ usando (2.3) cuantas veces sea necesario hasta que $\Gamma(x+1)$ tenga un argumento positivo. De esta manera la función Gamma resulta válida para todos los valores de $x,$ excepto para $x \in \mathbb{Z^{-}}\cup \{0\}$. $\qedsymbol$