Método de semigrupos de operadores. Existencia y unicidad de la solución de un problema de difusión - reacción

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La idea de aplicar el marco de semigrupos para problemas no lineales de ecuaciones en derivadas parciales ha sido ampliamente utilizado en problemas de difusión y reacción ( Kovács [4],
Galaktionov y Vázquez [19,20,48], De Assis [14], Iancu [26] y Machado [34]). Si bien es cierto que este método no resuelve de manera explícita el problema (2),pero nos proporciona un marco funcional adecuado para aproximar soluciones y establecer en que espacios están dichas soluciones.

Se consideró el problema de Cauchy:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\dot{u}(t) + Au(t) = f(t, u(t)), &\mbox t > 0,\\
u(0)=u_0 \in \mathbb{X},
\end{cases}\end{displaymath} (10)

donde $- A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo $\{T(t)\}_{t \geq 0}$ sobre $\mathbb{X}$,
$f: [0, T] \times \mathbb{X}\longrightarrow \mathbb{X}$ es una función continua en $t$ y de Lipschitz en $u$, es decir, $f \in C([0, T]\times{\mathbb{X}}; \mathbb{X})$. Notar que es posible considerar $T = +\infty$.

Definición 7   La función $u : [0, T) \longrightarrow \mathbb{X}$ es una solución clásica de (10) en $[0, T)$ si y sólo si $u \in C^1([0, T]; \mathbb{X})$ $\cap\; C([0, T); D(A))$, y $u$ satisface el problema (10).

Definición 8   La función $u : [0, T) \longrightarrow \mathbb{X}$ es una solución débil del problema (10) si y sólo si $u \in C([0, T); \mathbb{X})$ y $u$ soluciona (10).

El siguiente lema ofrece una forma general para obtener la solución de (10) basada en lo que se conoce cómo la fórmula de variación de parámetros usado en la solución de ecuaciones en derivadas ordinarias.

Lema 1   Sea $f \in L^1([0, T); \mathbb{X})$ y $u_0 \in \mathbb{X}$. Entonces la solución de (10), si es que existe, está dada por la fórmula:

$\displaystyle u(t) = T(t)u_0 + \int_{0}^{t} T(t - s)f(s, u(s))ds.$ (11)

Notar que toda solución débil $u$ de (10) satisface necesariamente (11).

En el siguiente teorema se asegura la existencia y unicidad de la solución débil para el problema (10):

Teorema 2   Sea $f: [0, T] \times \mathbb{X}\longrightarrow \mathbb{X}$ una función continua en $t$ y globalmente Lipschitz sobre $\mathbb{X}$. Si $- A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo $\{T(t)\}_{t \geq 0}$, entonces para cada $u_0 \in \mathbb{X}$ el problema de valor inicial (10) tiene una única solución débil $u \in C([0, T]; \mathbb{X})$. Además la aplicación $u_0 \mapsto u$ es Lipschitz de $\mathbb{X}$ en $C([0, T]; \mathbb{X})$.

Prueba:$~$
Se conoce que $f \in C([0, T]\times{\mathbb{X}}; {\mathbb{X}})$ es globalmente de Lipschitz sobre $\mathbb{X}$, es decir:

$\displaystyle \vert\vert f(t, u) - f(t, v)\vert\vert _{C([0, T]; {\mathbb{X}})} \leq \vert\vert u-v\vert\vert _{\mathbb{X}}$      

Además, como $- A$ es el generador del semigrupo fuertemente continuo $\{T(t)\}_{t \geq 0}$, entonces:

$\displaystyle \vert\vert T(t)\vert\vert _{C([0, T]; {\mathbb{X}})} \leq C,$    donde $\displaystyle C=Me^{wt}$

Ahora, para $u_0 \in \mathbb{X}$ se define la transformación:

$\displaystyle F : C([0, T]; {\mathbb{X}}) \longrightarrow C([0,T]; {\mathbb{X}})$    

como

$\displaystyle \displaystyle (Fu)(t) = T(t)u_0 + \int_0^t T(t - s)f(s, u(s))ds.$    

tomando la diferencia y acotando:
$\displaystyle \vert\vert (Fu)(t) - (Fv)(t)\vert\vert _{C([0, T]; {\mathbb{X}})}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vert\vert \int_0^t T(t - s)[ f(s, u(s)) - f(v, v(s)) ]ds \vert\vert _{C([0, T]; {\mathbb{X}})}$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \int_0^t \vert\vert T(t - s)\vert\vert _{_{ C([0, T]; {\mathbb{X}})}}. \vert\vert f(s, u(s)) - f(v, v(s))\vert\vert _{_{C([0, T]; {\mathbb{X}})}}ds$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \int_0^t ML\vert\vert u - v\vert\vert _{\mathbb{X}}ds \leq MLt\vert\vert u - v\vert\vert _{\mathbb{X}},$  

Así se obtiene:

$\displaystyle \vert\vert(Fu)(t) - (Fv)(t)\vert\vert _{C([0, T]; {\mathbb{X}})} \leq MLt\vert\vert u - v\vert\vert _{\mathbb{X}}$    

Luego, por inducción se tiene:

$\displaystyle {}
\vert\vert(F^nu)(t) - (F^nv)(t)\vert\vert _{C([0, T]; {\mathbb...
...athbb{X}} \leq \frac{(MLt)^n} {n!} \vert\vert u - v\vert\vert _{\mathbb{X}},\\ $    

juntando extremos se tiene
$\displaystyle \vert\vert(F^nu)(t) - (F^nv)(t)\vert\vert _{C([0, T]; {\mathbb{X}})} \leq \frac{(MLt)^n} {n!}\vert\vert u - v\vert\vert _{\mathbb{X}}$,
luego, para un $n$ suficientemente grande se tendrá que $\displaystyle \frac{(MLt)^n} {n!} < 1$, entonces por el teorema del punto fijo, $F$ tiene un punto fijo $u \in C([0, T]; \mathbb{X})$. Este punto fijo es la solución de la ecuación integral dada en el Lema 1 y por tanto es una solución débil del problema (10).

Por otro lado, sea $v$ una solución débil del problema de valor inicial (10) con condición inicial $v_0$, entonces:

$\displaystyle \vert\vert (Fu)(t) - (Fv)(t)\vert\vert _{C([0, T]; {\mathbb{X}})}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vert\vert u(t) - v(t)\vert\vert _{ \mathbb{X}}$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \vert\vert T(t)u_0 - T(t)v_0\vert\vert _{ \mathbb{X}} + \int_0^t \vert\vert f(s, u(s)) - f(s, v(s))\vert\vert _{\mathbb{X}}ds$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle M\vert\vert u_0 - v_0\vert\vert _{ \mathbb{X}} + ML\int_0^t\vert\vert u(s) - v(s)\vert\vert _{ \mathbb{X}}ds,$  

y usando la desigualdad de Gronwall, implica que:
$\vert\vert u(t) - v(t)\vert\vert _{ \mathbb{X}} \leq Me^{MLT}\vert\vert u_0 - v_0\vert\vert _{ \mathbb{X}} \hspace{1 cm} \forall t \in [0, T],$
finalmente
$\vert\vert u - v\vert\vert _{\mathbb{X}} \leq Me^{MLT}\vert\vert u_0 - v_0\vert\vert _{\mathbb{X}}$
lo cual implica que si $u_0 = v_0$, entonces $u(t) =v(t) , \; \forall t \in [0, T]\;$. Por lo tanto, la solución del problema (10) es única. Además, de la última desigualdad se obtiene que la aplicación $u_0 \mapsto u$ es Lipschitz.$\Box$

Corolario 1   Si $A$ y $f$ satisfacen las condiciones del anterior entonces para cada
$g \in C([0, T]; \mathbb{X})$ la ecuación integral

$\displaystyle {}
w(t) = g(t) + \int_{0}^{t} T(t - s)f(s, w(s))ds$    

tiene una única solución débil $w \in C([0, T]; \mathbb{X})$.

El siguiente teorema da una caracterización de la solución $u(t)$ de (10) en caso de presentarse el fenómeno de explosión:

Teorema 3   Sea $f : [0, +\infty) \times \mathbb{X} \longrightarrow \mathbb{X}$, una función globalmente Lipschitz en $t$ y localmente Lipschitz en $u$. Si $- A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo $\{T(t)\}_{t \geq 0}$ sobre $\mathbb{X}$, entonces para cada $u_0 \in \mathbb{X}$ existe $T_{max} \leq +\infty$ tal que el problema de valor inicial (10) tiene una única solución débil en $[0, T_{max})$. Si $T_{max} < +\infty$ entonces:

$\displaystyle \displaystyle \lim_{t \to T_{max}} \vert\vert u(t)\vert\vert _{\mathbb{X}}= +\infty.$

Este teorema es sustancial y trascendente para los fines de este trabajo, pues nos indica que si la solución existe localmente entonces necesariamente ha de presenta explosión y, por tanto será no acotada.

Teorema 4   Si $- A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo $\{T(t)\}_{t \geq 0}$ sobre $\mathbb{X}$ y sea $f: [0, T] \times \mathbb{X}\longrightarrow \mathbb{X}$ una función continuamente diferenciable, entonces la solución débil de (10) para $u_0 \in D(A)$ es una solución clásica.

Para los detalles de las demostraciones de los Teoremas 3 y 4 ver [38].

Teorema 5   Existencia y unicidad, [4].
Sean $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, un subconjunto abierto, convexo y acotado, $q : \Omega \times [0, T) \times \mathbb{R}$ una función continua y diferenciable en la tercera variable con derivada acotada. Entonces el problema:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\displaystyle \frac{\partial u(x, t)}{\partial ...
... \Omega,\\
u(x, t) = 0 &\mbox (x, t) \in \Gamma_T,
\end{cases}\end{displaymath} (12)

donde $Q_T = [0, T) \times \Omega$ y $\Gamma_T = [0, T) \times \partial \Omega$, tiene una única solución débil.

Prueba:$~$
La formulación del problema abstracto a (12) es:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\dot{u}(t) + Au(t) = F(t, u(t)), &\mbox t > 0,\\
u(0)=u_0 \in L^{\infty}(\Omega),
\end{cases}\end{displaymath} (13)

donde $F(t, u(t)) = - q(\cdot, t, u(\cdot, t)) + g(\cdot, t)$ y $\displaystyle \frac{\partial q}{\partial u}$ es acotada, es decir, para alguna constante $k > 0$ se tiene: $\displaystyle \vert\frac{\partial q(x, t, u)}{\partial u}\vert \leq k$.
Para usar el Teorema 2 se tiene que probar que la función $F$ es localmente Lipschitz en $u$:
$\displaystyle \vert\vert F(t, u(t)) - F(t, v(t))\vert\vert _{L^2(\Omega)}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{\Omega} \vert - q(x, t, u(x, t)) + q(x, t, v(x, t)) \vert dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{\Omega} \vert\frac{\partial q(x, t, w(x, t))}{\partial w}\vert^2 \vert u(x, t) - v(x, t)\vert^2 dx$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle k^2 \vert\vert u(t) - v(t)\vert\vert _{L^2(\Omega)}^2.$  

Uniendo extremos y extrayendo la raíz cuadrada se tiene:

$\displaystyle \vert\vert F(t, u(t)) - F(t, v(t))\vert\vert _{L^2(\Omega)} \leq k\vert\vert u(t) - v(t)\vert\vert _{L^2(\Omega)},$    

por tanto, $F$ es de Lipschitz en $u$. En consecuencia, por el Teorema 2, la ecuación (13) tiene una única solución débil $\Box$.

Obsérvese que si la función $h(x, t, u) = g(x, t) - q(x, t, u)$ es diferenciable entonces por el
Teorema 4, la solución débil del problema (13) es también una solución clásica.

Notar además que este teorema nos muestra que la solución:

$\displaystyle u \in C([0, T); L^{2}(\Omega)),$

y agregando la hiótesis de diferenciabilidad sobre $h$, se tiene que:

$\displaystyle u \in C([0, T); L^{2}(\Omega)) \cap C^1((0, T); L^{2}(\Omega)).$

Para algunas variantes del teorema de existencia y unicidad se pueden consultar [47,49].