Sea el multi índice
, con enteros no negativos y
. Se denota la derivada de orden como:
entonces:
Definición 4Sea un subconjunto abierto y acotado de
con . Se definen los espacios:
como el conjunto de funciones
que son uniformemente continuas y acotadas sobre .
como el conjunto de funciones
que son continuas.
como el conjunto de funciones
tales que
u es continua sobre
para todo
.
como el conjunto de funciones
que son infinitamente diferenciables sobre y continuas sobre
.
como el conjunto de funciones
que son infinitamente diferenciables sobre , son continuas sobre
y tienen soporte compacto.
Los espacios
, ,
y
son espacios de Banach con norma:
El espacio
es un espacio de Banach con norma:
Definición 5Sea un subconjunto abierto y no vacío de
con . Se definen:
El espacio
es el conjunto de clases de equivalencia de funciones de valor real (o complejo) medibles
tal que
.
es un espacio de Banach con la norma
El espacio
es el conjunto de clases de equivalencia de funciones de valor real (o complejo) medibles
tal que existe
tal que
es un espacio de Banach con la norma
Para
y
se definen los espacios de Sobolev como:
es un espacio de Banach con la norma:
ó
Si , entonces el espacio
es un espacio de Hilbert y será denotado por
.
.
En base a los espacios definidos anteriormente surgen:
Definición 6Sea
y dado el espacio de Banach
con norma
. Se definen:
=
, es continua, con la norma:
=
, es k veces diferenciable en y continua sobre , con la norma:
=
, es medible y
. con la norma:
=
, es medible y
, con la norma:
=
, es uniformemente continua y acotada, con la norma: