Instrumentación

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Sea el multi índice $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$, con $\alpha_i$ enteros no negativos y $\vert\alpha\vert = \displaystyle \sum_{i = 1}^n \alpha_i$. Se denota la derivada de orden $\alpha$ como:

$\displaystyle \displaystyle D^{\alpha} = \frac{\partial^{\vert\alpha\vert}}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}... \partial x_n^{\alpha_n}},$    

entonces:

Definición 4   Sea $\Omega$ un subconjunto abierto y acotado de ${\mathbb{R}}^n$ con $n \geq 1$. Se definen los espacios:
$(a)$
$UCB(\Omega)$ como el conjunto de funciones $u: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ que son uniformemente continuas y acotadas sobre $\Omega$.
$(b)$
$C(\Omega)$ como el conjunto de funciones $u: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ que son continuas.
$(c)$
$C^k(\Omega)$ como el conjunto de funciones $u: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que $D^{\alpha}$u es continua sobre $\overline{\Omega}$ para todo $\vert\alpha\vert<k$.
$(d)$
$C^{\infty}(\Omega)$ como el conjunto de funciones $u: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ que son infinitamente diferenciables sobre $\Omega$ y continuas sobre $\overline{\Omega}$.
$(e)$
$C_0^{\infty}(\Omega)$ como el conjunto de funciones $u: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ que son infinitamente diferenciables sobre $\Omega$, son continuas sobre $\overline{\Omega}$ y tienen soporte compacto.
Los espacios $UCB(\Omega)$, $C(\Omega)$, $C^{\infty}(\Omega)$ y $C_0^{\infty}(\Omega)$ son espacios de Banach con norma:

$\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{\infty} = \sup_{x\in \Omega}\vert u(x)\vert$    

El espacio $C^k(\Omega)$ es un espacio de Banach con norma:

$\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{k} = \sup_{x\in \overline{\Omega}}\vert ...
...ert + \sum_{i=1}^{k}\sup_{x\in \overline{\Omega}}\vert\frac{d^iu(x)}{dx^i}\vert$    

Definición 5   Sea $\Omega$ un subconjunto abierto y no vacío de ${\mathbb{R}}^n$ con $n \geq 1$. Se definen:

$(a)$
El espacio $L^p(\Omega)$ es el conjunto de clases de equivalencia de funciones de valor real (o complejo) medibles $u: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $\int_{\Omega}\vert u(x)\vert^p dx < \infty$.
$L^p(\Omega)$ es un espacio de Banach con la norma

$\displaystyle {}
\vert\vert u\vert\vert _{L^p(\Omega)} = \left( \int_{\Omega}\vert u(x)\vert^p dx \right)^{\frac{1}{p}}, \hspace{1 cm} 1 \leq p < \infty$    

$(b)$
El espacio $L^{\infty}(\Omega)$ es el conjunto de clases de equivalencia de funciones de valor real (o complejo) medibles $u: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que existe $\; M \geq 0$ tal que $\vert u(x)\vert \leq M \;c.t.p.$
$L^{\infty}(\Omega)$ es un espacio de Banach con la norma

$\displaystyle {}
\vert\vert u\vert\vert _{L^{\infty}(\Omega)} = \inf \{M \geq 0: \vert u(x)\vert \leq M \;\;c.t.p.\; en\; \Omega \}.$    

$(c)$
Para $p \in [1, \infty]$ y $k \in \mathbb{N}$ se definen los espacios de Sobolev como:

$\displaystyle W^{k, p}(\Omega) = \{u \in L^p(\Omega)/ D^{\alpha}u \in L^p(\Omega), \;\forall \; \vert\alpha\vert < k\}$    

$W^{k, p}(\Omega)$ es un espacio de Banach con la norma:

$\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _{W^{k, p}(\Omega)} = \displaystyle (\sum_...
...pha}f\vert\vert^p_{L^p(\Omega)})^{\frac{1}{p}}, \hspace{1 cm} 1 \leq p < \infty$    

ó

$\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _{W^{k, \infty}(\Omega)} = \displaystyle \...
...\vert\alpha\vert \leq k} \vert\vert D^{\alpha}f\vert\vert _{L^{\infty}(\Omega)}$    

Si $p = 2$, entonces el espacio $W^{k, 2}(\Omega)$ es un espacio de Hilbert y será denotado por $H^k(\Omega)$.

$(d)$
$H^{k}_0 = \overline{H^{k}{\Omega} \cup C^{\infty}_0(\Omega)}$.

En base a los espacios definidos anteriormente surgen:

Definición 6   Sea $T \in [0, +\infty]$ y dado el espacio de Banach $\mathbb{X}$ con norma $\vert\vert.\vert\vert _{\mathbb{X}}$. Se definen:

$(a)$
$C([0, T]; \mathbb{X})$ = $\{u: [0, T] \longrightarrow \mathbb{X}$, $u$ es continua$\}$, con la norma:

$\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{C([0, T]; \mathbb{X})} = \sup_{t \in [0, T]} \vert\vert u(t)\vert\vert _{\mathbb{X}}$    

$(b)$
$C^k((0, T); \mathbb{X})$ = $\{u: (0, T) \longrightarrow \mathbb{X}$, $u$ es k veces diferenciable en $(0, T)$ y continua sobre $[0, T] \}$, con la norma:

$\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{C^k([0, T]; \mathbb{X})} = \sup_{t \in [...
...1}^{k}\sup_{t \in [0, T]}\vert\vert\frac{d^iu(t)}{dt^i}\vert\vert _{\mathbb{X}}$    

$(c)$
$L^p([0, T]; \mathbb{X})$ = $\{u: [0, T] \longrightarrow \mathbb{X}$, $u$ es medible y $\int_{0}^{T}\vert\vert u(t)\vert\vert^p_{\mathbb{X}}dt < +\infty$$\}$. con la norma:

$\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{L^p([0, T]; \mathbb{X})} = (\int_{0}^{T}...
...u(t)\vert\vert^p_{\mathbb{X}}dt)^{\frac{1}{p}}, \hspace{1 cm} 1 \leq p < \infty$    

$(d)$
$L^{\infty}([0, T]; \mathbb{X})$ = $\{u: [0, T] \longrightarrow \mathbb{X}$, $u$ es medible y $\displaystyle \sup_{t \in [0, T]}\vert\vert u(t)\vert\vert _{\mathbb{X}} < +\infty$$\}$, con la norma:

$\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{L^{\infty}([0, T]; \mathbb{X})} = \sup_{t\in [0 , T]}\vert\vert u(t)\vert\vert _{\mathbb{X}}$    

$(e)$
$UCB([0, T], \mathbb{X})$ = $\{u: [0, T] \longrightarrow \mathbb{X}$, $u$ es uniformemente continua y acotada$\}$, con la norma:

$\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{UCB([0, T], \mathbb{X})} = \sup_{t \in [0, T]}\vert\vert u(t)\vert\vert _{\mathbb{X}}$