Objeto de estudio

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Sea $u: \Omega \times [0, T] \longrightarrow \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable sobre $\Omega$ y una vez diferenciable en $(0, T)$ tal que:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\displaystyle \frac{\partial u(x, t)}{\partial ...
...box (x, t) \in \partial \Omega \times (0, +\infty),
\end{cases}\end{displaymath} (9)

donde: $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, $\Omega$ es conjunto abierto y acotado con frontera suave, $f$ es una función continua en $(x, t)$ y globalmente Lipschitz en $u$, esto es, existe una constante $L>0$ tal que:

$\displaystyle \vert f(x, t, u(x, t))- f(x, t, v(x, t))\vert \leq L\vert u(x, t) - v(x, t)\vert, \;\forall x \in \Omega, t>0.$    

$u_0 \in L^{\infty}(\Omega)$ y además es no negativa en $\Omega$. En los trabajos de [35,36] se consideró que $u_0$ es uniformemente continua y acotada.

Es necesario recalcar que se ha resuelto el problema (9) usando como hipótesis básicas que:

1.
la solución $u(x, t)$ no presenta explosión en la variable espacial $x$ y,
2.
de presentarse explosión en la variable temporal $t$, éste lo haría para $T > 0$, es decir, no hay explosión en la condición inicial.