Construcción de la solución propia minimal de un problema de difusión - reacción [1]

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Considerar el problema:

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}... ...) = 0, \qquad &\mbox x \in \partial \Omega, t>0.\\ \end{cases}$$ (7)

La idea de la construcción de la solución propia minimal para el problema (2) es la
aproximación inferior de la función no lineal $f$ por una sucesión monótoma $\{f_n\}$ tal que la solución $u_n(x, t)$ del problema aproximante (7) esté definida globalmente en el tiempo.

Por las propiedades de la monotonía se tiene que, para cada punto $(x, t)$ la sucesión $\{u_n(x, t)\}_{n \in \mathbb{N}}$ es monótona creciente. Así estos elementos convergen a $u(x, t) \in [0, +\infty]$ (observar que no se
excluye el hecho que $u$ podría ser $+\infty$). Esta función es, justamente, la solución propia del
problema.

Para la ecuación (7) se construyen las soluciones propias minimales como sigue: sea
$f_n(x, u) = \min\{f(x,t, u(x, t)), n\}$. Observar que si $f$ es localmente Lipschitz en $u$ y uniformemente en $x$, esto es, para cada $R>0$ existe un $L(R)>0$ tal que:

$$\vert f(x, u) - f(x, v)\vert \leq L(R)\vert u - v\vert, \hspace{1 cm} \vert u\vert, \vert v\vert \leq R, \hspace{1 cm}x \in \Omega.$$

Esta condición y el hecho que la función $f_n$ es acotadas por encima de n implica que las soluciones de (7) están definidas para todo $t\geq 0$.

Ahora, observar también que por la monotonía de $f_n$, $f_n \leq f_{n+1}$ se tiene que:
$0 \leq u_n(x, t) \leq u_{n+1}(x, t)$ y por lo tanto $u_n(x, t) \nearrow u(x, t)$ cuando $n \to \infty$. Más aún, si $u(x, t) < \infty$ para cada $(x, t) \in \bar{\Omega} \times [0, T]$ entonces ésta coincide con la solución clásica para $t \in [0, T]$.

Puesto que las aproximaciones $u_n(x, t)$ son soluciones clásicas y están definidas para todo $t\geq 0$, es posible aplicar el principio de comparación para estas aproximaciones que será el mismo para sus límites, las soluciones propias minimales. En particular si $0 \leq u_0 \leq v_0$
entones: $u(x, t, u_0) \leq u(x, t, v_0)$ para todo $t\geq 0$ (donde $u(x, t, u_0)$ y $v(x, t, v_0)$ son las
soluciones de las ecuación (2) con condiciones iniciales $u_0$ y $v_0$, respectivamente), entendiéndose que si $u(x, t, u_0) = +\infty$ en algún punto $(x, t)$ entonces se tendrá que $u(x, t, v_0) = +\infty$.

En resumen, la solución propia minimal es la extensión, en caso de presentarse explosión, de la solución clásica después del tiempo de explosión.

Por ejemplo, sea el problema:

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{du(t)}{dt} = f(u(t)) \\ u(0) = u_0 > 0, \end{cases}$$ (8)

donde $f$ es positiva, creciente y regular. En particular, cuando $f(u) = u^p, p > 1$, esta ecuación tiene como única solución a:

$${} u(t) = C_p (T - t)^{ - \frac{1}{p - 1} },$$

donde $T = u_0^{1 - p}(p - 1)^{-1}$ y $C_p = (p - 1)^{ - \frac{1}{p - 1} }$. Es posible, entonces por lo descrito anteriormente, extender la solución clásica $u(t)$ obtenida, a $\bar{u} = \bar{u}(t)$ definida como:

$$\bar u(t) = \begin{cases} \displaystyle C_p (T - t)^{ - \frac{1... ...1} }, & t \in [0, T) \\ + \infty, & t \in [T, +\infty). \\ \end{cases}$$

De hecho se demuestra que $\bar{u}(t)$ es solución de (8), para la prueba de esto y un estudio más detallado se puede consultar [43].