Solución propia minimal de un problema de difusión - reacción

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El concepto de solución propia minimal fue introducido por Baras y Cohen [6] y fue
desarrollado por Galaktionov y Vazquez [19,20] para el caso de problemas de difusión -
reacción con condiciones de frontera tipo Dirichlet.

Para formalizar el concepto de solución propia considerar el siguiente problema de valor inicial:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\displaystyle \frac{\partial u(x, t)}{\partial ...
...athbb{R}^+\\
u(x, 0) = u_0(x), &\mbox x\in \Omega,
\end{cases}\end{displaymath} (6)

donde $f$ es una función de Lipschitz global en ${\mathbb{R}}^+$.

Sea $\mathbb{X}$ un espacio de Banach, por ejemplo $\mathbb{X}$ = $L^2(\Omega)$, y $\mathbb{B}\subset X$, el cual puede se puede tomar de tal forma que la ecuación de (6) genere un semigrupo $\{T(t)\}_{t \geq 0}$ en $\mathbb{B}$. Según [20] es posible tomar $\mathbb{B}$ = $L^1({\mathbb{R}}^n)$ $\cap \; L^{\infty}({\mathbb{R}}^n) $.

Considerar ahora una familia de operadores “aproximación” lineales y acotados
$\{P_n : \mathbb{X} \longrightarrow \mathbb{B} \subset \mathbb{X}\}$ $_{n \in \mathbb{N}}$ tal que:

($p_1$)
La familia ${P_n}$ es ordenada, esto es, para cada $u \in \mathbb{X}$ y $n > m$ se tiene que $P_nu \geq P_mu$.
($p_2$)
${P_n}$ es uniformemente continua para todo $n \in \mathbb{N}$.
($p_3$)
$P_nu \to u$ en $\mathbb{X}$ cuando $n \to \infty$.

Definición 1   Sean $(\mathbb{X}, \vert\vert.\vert\vert _X)$ un espacio de Banach, $\{G(t)\}_{t \geq 0}$ un semigrupo sobre $\mathbb{X}$, $u \in \mathbb{X}$ y $t > 0$. Se define $T(t)$ en la forma:

$\displaystyle T(t)u = \lim_{n \to \infty}G(t)P_nu$    

como la extensión de $G(t)$.

Teorema 1   Sea $T(t)$ la extensión de $G(t)$. Entonces $\{T(t)\}_{t \geq 0}$ es un semigrupo en $\mathbb{X}$. El límite es independiente de la sucesión aproximante $\{P_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ que satisface ($p_1$), ($p_2$) y ($p_3$).

Para la demostración de este resultado se necesita conocimientos avanzados de la Teoría de Semigrupos, la cual se puede consultar en [20].

Definición 2   A $\{T(t)\}_{t \geq 0}$ se le denomina semigrupo límite de $\{G(t)\}_{t \geq 0}$.

Definición 3   Para cada $u_0 \in \mathbb{X}$ la función $u: \Omega \times [0, +\infty) \longrightarrow {\mathbb{R}}^+$ definida por:

$\displaystyle u(x, t) = T(t)u_0(x)$    

es denominada solución propia del problema (6).




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