Introducción

Muchos problemas físicos son modelados analizando el balance de dos fenómenos: la difusión y la reacción. Según [47], puede entenderse al primero como la dispersión de las especies (sustancias) involucradas en el proceso a lo largo del dominio físico del problema (movimiento local), y el segundo, como el proceso de interacción mediante el cual se generan o se consumen las especies involucradas (crecimiento, cambios de estado, etc).

Las ecuaciones de difusión - reacción son modelos matemáticos que explican cómo la
concentración de una o más especies distribuidas en un espacio (dominio físico) se transforman bajo la influencia de dos procesos: reacciones químicas locales y difusión. Estos tipos de ecuaciones cubren una amplia variedad de modelos físicos en muchos campos de la ciencia, como por ejemplo, procesos biológicos de aparición de manchas en la piel de ciertos animales [30,47], ondas viajantes [23,30,46], dinámica de poblaciones y reacciones químicas [30], entre otros.

En general, una ecuación de difusión - reacción es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de la forma:

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x, t) = div(k(x).\nabla u(x, t)) + f(x, t, u(x, t), \nabla u(x, t)),$ (1)

donde $x\in \Omega \subset {\mathbb{R}}^n, \Omega$ es un conjunto abierto y $t \in [0, +\infty)$. $u: \Omega \times {\mathbb{R}}^+_0 \longrightarrow \mathbb{R}$ es la función
incógnita. $k$ y $f$ son funciones debidamente definidas según el problema en particular que se estudie.

Asociados a la ecuación (1) puede considerarse tanto condiciones iniciales como condiciones de frontera, del tipo Dirichlet, Neumman, Robin o mixtas.

En este trabajo se considera el problema particular:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\displaystyle \frac{\partial u(x, t)}{\partial ...
...box (x, t) \in \partial \Omega \times (0, +\infty),
\end{cases}\end{displaymath} (2)

donde $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, $\Omega$ es conjunto abierto y acotado con frontera suave, $f$ es continua en $(x, t)$ y localmente Lipschitz en $u$. $u_0 \in L^{\infty}(\Omega)$ y es además no negativa en $\Omega$.

Se dice que una solución $u(x, t)$ de (2) existe localmente cuando $u$ está definida en $t \in [0, T)$, para $T < +\infty$. Si $T = +\infty$, entonces se dirá que la solución existe de forma global.

Actualmente existe una amplia bibliografía respecto a la existencia local y global de
soluciones de (2) cuando $f(x, t, u) = g(x, t)$, $f \equiv 0$, $f(x,t, u) = u^p$ ó $f(x, t, u) = e^u$, ver por ejemplo [1,2,8,9,11,12,14,26,27,30,33,36,37,40,45,46,49].

En [1,2] Arrieta y Rodríguez estudiaron el problema:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}...
...x, u(x, t)), \qquad &\mbox x\in \Gamma_N, t > 0,\\
\end{cases}\end{displaymath} (3)

donde $\Gamma = \partial \Omega = \Gamma_D \cup \Gamma_N$ es una partición disjunta de la frontera de $\Omega$, $f$ y $g$ son funciones suaves. Los subíndices D y N en $\Gamma$ indican la parte de la frontera con condiciones del tipo Dirichlet y Neumman, respectivamente. $u_0 \in L^{\infty}(\Omega), u_0(x) \geq 0$ para $x \in \Omega$. Bajo ciertas hipótesis adicionales sobre $f$ y $g$ se llegó a establecer que la solución de (3) está definida globalmente sobre una vecindad de $\Omega$, y que además, es acotada. Esto es, existen $\delta, M > 0$ tales que:

$\displaystyle \sup_{0\leq t < \infty, \;x \in B(x_0, \delta) \cap \overline{\Omega}}u(x, t, u_0) \leq M.\\ $    

Aquí se introdujo un concepto nuevo de solución débil, denominada solución propia minimal (estudiado por Váquez y Galaktionov en [19,20,43,48]), que bien puede ser una solución clásica bajo algunas consideraciones.

En [40] se generaliza este resultado cuando $\Gamma_N = \emptyset$ y $f$ localmente Lipschitz en $x$, con $f \to -\infty$ cuando $u \to +\infty$. Se demuestra la existencia global de la solución y que además existe una función continua no negativa $M(x, t)$ tal que:

$\displaystyle 0 \leq u(x, t) \leq M(x, t).$    

Chen y Derrick en [9] estudiaron el problema en su forma vectorial:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}...
...\\
u(x, t) = 0, &\mbox x \in \partial \Omega, t>0,
\end{cases}\end{displaymath} (4)

donde $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, es un dominio acotado con frontera $\partial \Omega$ suave y las funciones $u = (u_1, u_2,..., u_m)$ y $f = (f_1, f_2,..., f_m)$ son vectoriales con $m \geq 1$.

Enfocando el problema desde la Teoría de Semigrupos y apoyándose en la solución positiva del problema:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\Delta \Phi + f(\Phi) = 0,\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Phi \vert _{\partial \Omega} = 0,
\end{cases}\end{displaymath}    

y considerando $\phi \in C^{\alpha}(\overline{\Omega}, {\mathbb{R}}^m)$, para $\alpha \in (0, 1)$ y $f$ una función localmente Lipschitz con $f({\bf0}) = {\bf0}$ y satisfaciendo algunas condiciones de desigualdad, se determinó que la solución existe globalmente con decaimiento exponencial, esto es:

$\displaystyle u(x, t) \to 0, \;\; t \to +\infty\;\;, \forall x \in \Omega.$    

A un resultado similar llegaron Mounmeni y Derradji en [37] en el caso $m = 2$. Los resultados en [9] son los mismos a los que se llegó en [8] para los casos $g(u) = 1$ y $h(u, \nabla u) = 0$. Cuando en (4), $f(u) = \vert u\vert^{\alpha}u$, para $\alpha > 0$ se determinó que la solución existe de forma global para algunos valores de $\alpha = \alpha(n)$ y funciones $\phi \in C_0(\Omega) \cap L^p(\Omega)$, para ciertos $p > 1$ (ver [10,11,49]).

Un trabajo muy interesante, fue el de Meneses y Quass ([35,36]) quienes estudiaron el problema de la forma:

\begin{displaymath}\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}...
... +\infty)\\
u(x, 0) = u_0(x), &\mbox x \in \Omega.
\end{cases}\end{displaymath} (5)

donde $u: \Omega \times (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$, $F: S_n \times \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ y $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$. $S_n$ denota al conjunto de matrices reales $n \times n$ y simétricas y $\Gamma = \Omega \times (0, +\infty)$. Aquí se introduce el concepto de solución viscosa. Haciendo uso de la teoría de semigrupos, del principio de comparación y bajo ciertos supuestos sobre $F$ y $u_0$ se determinó que existe un exponente $p = p(F)$, denominado exponente crítico, tal que $u(x, t)$ está definida para todo $t > 0$.

Como se ha visto líneas atrás, la existencia de soluciones de (2) está, generalmente, garantizada sólo para tiempos `pequeños'. Más aún, existe la posibilidad que a partir de condiciones iniciales regulares, las soluciones desarrollen ciertas singularidades en un tiempo finito.

Una forma muy conocida de aparición de singularidades se da cuando existe un tiempo $T_{0} < +\infty$ tal que la solución de (2), esté definida para $t \in [0, T_0)$ y que $\lim_{t \to T_0^-}\vert u(x, t)\vert = +\infty$, es decir, la solución $u$ explote. A este valor $T_0$ se le denomina, justamente, tiempo de explosión.

Como escribe [39], por muchos años, algunos autores consideraron para este tipo de
problemas que las soluciones explosivas eran ejemplos de patología, útiles para establecer solamente las condiciones necesarias para la obtención de soluciones globales, sin embargo estas soluciones obtuvieron un significado más físico cuya aplicabilidad sigue aumentando aún en estos tiempos (ver [30,23,46,47]).

Hoy en día existen muchos trabajos que tratan sobre a la existencia de soluciones explosivas en problemas de difusión - reacción [2,3,5,6,8,9,10,12,13,15,16,18,19,20,25,27,28,29,30,35,36,41,42,43,44,48,49]. Algunos de estos trabajos discuten la posibilidad de
extender las soluciones definidas localmente en $[0, T)$ a $[0, +\infty)$ y que exponen además
resultados correspondientes los denominados exponentes de fujita los cuales permiten dar una respuesta apriori sobre la presencia de soluciones explosivas para determinadas ecuaciones de la forma (4) con $m = 1$ ó $F(\Delta u(x, t), x) = \Delta u(x, t)$ en (5). Los estudios en este campo están
destinados a controlar de forma condicionada el fenómeno de explosión, analizar la tasa de
explosión de las soluciones y la regularidad de las mismas.

Los estudios sobre la explosión de la solución $u$ en tiempo finito $T_0 > 0$ están clasificados en casos, éstos dependen de la forma en particular que tiene $f$. Cuando $f(u) = u^p$, $p > 1$, los
trabajos de [15] y [19] establecen que $u$ explota si $1 < p < 1 + 2/n$ para una clase de funciones $u_0 \in L^{\infty}$.

Ishige [28] reúne varios resultados respecto a la explosión de las soluciones de (4) para $m = 1$ se obtuvo que conforme $t \to T_0$ la solución $u(x, t)$ toma un comportamiento similar a
$(p - 1)^{- \frac{1}{p - 1}}T_0^{- \frac{1}{p - 1}}$.

Por otro lado, en [8] se determinó que si $\phi (x) \in C_0^{1 + \beta} (\bar{\Omega})$ la solución de un problema similar a (4) explota en un tiempo $T_0$ dado por:

$\displaystyle T_0 \leq \frac{1}{\alpha c_2} (\int_{\Omega} \sqrt{\phi}\Phi dx)^{-2\alpha}$    

donde $\alpha$ y $\Phi$ son tomados como en [9] y $c_2$ es una constante a determinar.

Similarmente, en [44] se desarrollan cotas superiores para la solución de (5) con $F(\Delta u, x) = \Delta u$ y se hallaron algunas estimaciones para el tiempo de explosión $T_0$.

En [2,3,8,13] estudian problemas como (3) y (4). Se establecieron resultados
complementarios sobre existencia global de soluciones y explosión de las mismas. En [1,2], si $f(u)$ es acotada superiormente por una clase de funciones $\beta u^p$, $\beta > 0, 1 \leq p < 2r - 1$ , para $r > 1$, entonces la solución explota en tiempo finito, si por el contrario $1 < 2r - 1 < p$, entonces la solución $u$ existe globalmente y es acotada. A un criterio similar se llega en [9], sólo que en este caso se trabajó para sistemas.

En consecuencia y por todo lo mencionado anteriormente, surgen preguntas al tratar problemas de la forma (2), (3), (4) ó (5): ¿la solución será global y acotada?, si no es global, ¿habrá explosión? y si la solución explota, ¿cuándo lo hace?. En este artículo se pretende dar respuestas a estas
preguntas. Para los resultados de existencia y unicidad se soluciones se empleará la Teoría de Semigrupos, y algunos elementos del análisis funcional y real. Los conjuntos bases en los que se trabajó serán los espacios $C^k$, $L^p$, $H_0^1$.



Subsecciones