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SELECCIONES MATEMÁTICAS

Universidad Nacional de Trujillo

ISSN: 2411-1783(Online)

Vol. 04(01): 51-58(2017)

Existencia de tres soluciones para el sistema hamiltoniano fraccionario.

Existence of three solution for fractional Hamiltonian system.

César Torres Ledesma[*].

Oliverio Pichardo Diestra[*].

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Received, Mar. 20, 2017 - Accepted, May. 15, 2017

DOI: http://dx.doi.org/10.17268/sel.mat.2017.01.06

Resumen
En este artículo se considera un sistema Hamiltoniano dado por
    $\displaystyle -{_{t}}D_{T}^{\alpha}(_{0}D_{t}^{\alpha}u(t)) = \nabla F(t,u(t)), \;\;\;$a.e$\displaystyle \;\;t\in [0,T]$ (1)
    $\displaystyle u(0) = u(T) = 0.$  

donde $\alpha \in (1/2 , 1)$, $t\in [0,T]$, $u\in \mathbb{R}^{n}$, $F: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ es una función dada y $\nabla F(t,u)$ es el gradiente de $F$ en $u$. La novedad de este trabajo es que, usando una versión modificada del teorema del paso de montaña para funcional limitada desde abajo probamos la existencia de por lo menos tres soluciones para (0.1).

Palabras claves. Calculo fraccionario, derivada fraccionaria, sistema Hamiltoniano fraccionario, problema de valor de contorno.

Abstract
In this paper we consider the fractional Hamiltonian system given by
    $\displaystyle -{_{t}}D_{T}^{\alpha}(_{0}D_{t}^{\alpha}u(t)) = \nabla F(t,u(t)), \;\;\;$a.e$\displaystyle \;\;t\in [0,T]$ (2)
    $\displaystyle u(0) = u(T) = 0.$  

where $\alpha \in (1/2 , 1)$, $t\in [0,T]$, $u\in \mathbb{R}^{n}$, $F: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ is a given function and $\nabla F(t,u)$ is the gradient of $F$ at $u$. The novelty of this paper is that, using a modified version of mountain pass theorem for functional bounded from below we prove the existence of at least three solutions for (0.2).

Keywords. Fractional calculus, fractional derivatives, fractional Hamiltonian system, boundary value problem