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SELECCIONES MATEMÁTICAS

Universidad Nacional de Trujillo

ISSN: 2411-1783(Online)

Vol. 04(01): 30-37(2017)

Invariantes de Laplace en Hipersuperficies Parametrizadas por Líneas de Curvatura.

Laplace Invariants in Hypersurfaces Parametrized by Lines of Curvature.

Carlos M. C. Riveros[*].

Armando M. V. Corro[*]

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Received, Feb. 05, 2017 - Accepted, May. 20, 2017

DOI: http://dx.doi.org/10.17268/sel.mat.2017.01.04

Resumen
En este trabajo, usando la teoría de invariantes de Laplace damos otra demostración del siguiente resultado: Una hipersuperficie de Dupin própia $M^n$ para $n\geq 4$ en $\mathbb{R}^{n+1}$ con $n$ curvaturas principales distintas y curvatura de Möbius constante, no puede ser parametrizada por líneas de curvatura. También, estudiamos clases especiales de hipersuperficies $M^n, n \geq3,$ en $\mathbb{R}^{n+1}$, parametrizadas por líneas de curvatura con $n$ curvaturas principales distintas y obtenemos una relación geométrica cuando los invariantes de Laplace son nulos, mostramos que las foliaciones de $M^n$ son hipersuperficies umbílicas si y solamente si $m_{ijk}=0$. Además, las foliaciones de $M^n$ son hipersuperficies de Dupin si y solamente si $m_{ij}=0$.

Palabras clave. Invariantes de Laplace, hipersuperficies de Dupin, líneas de curvatura

Abstract
In this work, using the Laplace invariants theory we give other proof for the following result: A proper Dupin hypersurfaces $M^n$ for $n\geq 4$ in $\mathbb{R}^{n+1}$ with $n$ distinct principal curvatures and constant möbius curvature, cannot be parametrized by lines of curvature. Also, we study special classes of hypersurfaces $M^n, n \geq3,$ in $\mathbb{R}^{n+1}$, parametrized by lines of curvature with $n$ distinct principal curvatures and we obtain a geometric relation when the Laplace invariants are vanish, we show that the foliations of $M^n$ are umbilical hypersurfaces if and only if $m_{ijk}=0$. Moreover, the foliations of $M^n$ are Dupin hypersurfaces if and only if $m_{ij}=0$.

Keywords. Laplace invariants, Dupin hypersurfaces, lines of curvature