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SELECCIONES MATEMÁTICAS

Universidad Nacional de Trujillo

ISSN: 2411-1783(Online)

Vol. 03(01): 47-54(2016)

Asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of fourth order linear differential equations.

Comportamiento asintótico de soluciones no oscilatorias de cuarto orden de ecuaciones diferenciales lineales..

Aníbal Coronel[*]

Fernando Huancas $^\dag$

Manuel Pinto[*]

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Received, Feb. 10, 2016 - Accepted, May. 10, 2016.

DOI: http://dx.doi.org/10.17268/sel.mat.2016.01.07

Resumen
This article deals with the asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of fourth order linear differential equation where the coefficients are perturbations of linear constant coefficient equation. We define a change of variable and deduce that the new variable satisfies a third order nonlinear differential equation. We assume three hypotheses. The first hypothesis is related to the constant coefficients and set up that the characteristic polynomial associated with the fourth order linear equation has simple and real roots. The other two hypotheses are related to the behavior of the perturbation functions and establish asymptotic integral smallness conditions of the perturbations. Under these general hypotheses, we obtain four main results. The first two results are related to the application of a fixed point argument to prove that the nonlinear third order equation has a unique solution. The next result concerns with the asymptotic behavior of the solutions of the nonlinear third order equation. The fourth main theorem is introduced to establish the existence of a fundamental system of solutions and to precise the formulas for the asymptotic behavior of the linear fourth order differential equation. In addition, we present an example to show that the results introduced in this paper can be applied in situations where the assumptions of some classical theorems are not satisfied.

Keywords. Poincaré-Perron problem; asymptotic behavior; Riccati type equations.

Abstract
Este artículo trata sobre el comportamiento asintótico de soluciones no oscilatorias de cuarto orden de ecuaciones diferenciales lineales donde los coeficientes son perturbaciones de la ecuación coeficiente constante lineal. Definimos un cambio de variable y deducimos que la nueva variable satisface una ecuación diferencial no lineal de tercer orden. Suponemos tres hipótesis. La primera hipótesis está relacionado con los coeficientes constantes y establece que la característica del polinomio asociado a la ecuación lineal de cuarto orden tiene raíces simples y reales. Las otras dos hipótesis están relacionadas con el comportamiento de las funciones de perturbación y establecen pequeñas condiciones de perturbación para las integrales asintóticas. Bajo estas hipótesis generales, se obtienen cuatro resultados principales. Los dos primeros resultados están relacionados con la aplicación de un argumento punto fijo para demostrar que el tercero no lineal ecuación de orden tiene una solución única. El siguiente resultado esta relacionado con el comportamiento asintótico de las soluciones no lineales de la ecuación de tercer orden. El cuarto principal teorema se introduce para establecer la existencia de un sistema fundamental de soluciones y precisa las fórmulas para el comportamiento asintótico de la cuarta ecuación diferencial de orden lineal. En adición, presentamos un ejemplo para mostrar que los resultados introducidos en este de artículo se pueden aplicar en situaciones en las suposiciones de algunos teoremas clásicas no están satisfechos.

Palabras clave. Problema de Poincaré-Perron, comportamiento asintótico, ecuaciones tipo Riccati.