El Método de los Multiplicadores de Lagrange

Utilizando la linealidad de $v\mapsto z(t;v)-z(t;0)$, introducimos la función $p\in L^2(0,T; V)$ como un multiplicador de Lagrange para escribir la funcional de costo $\tilde{J\;}$ en la forma aumentada

$$\begin{array}{rcl} \tilde{J\;}(v) & =& \frac{1}{2}\displayst... ...;v]-\dot{z}[t;0])+ \xi(z[t;v]-z[t;0])\right\}dx dt. \end{array}$$

donde

$$\xi(z)=D\Delta z-\beta.\nabla z+\lambda z,$$

$$z[t;v](x)=z(x,t;v),$$

$$\dot{z}[t;v](x)=\frac{\partial}{\partial t}z(x,t;v).$$

Con estas notaciones la derivada de Gateux para la funcional aumentada $\tilde{J\;}$ es:

$$\langle\tilde{J\;}'(u),v-u\rangle = \displaystyle\int_\Omega(y[T,u]-z_d)(z[T;v-u]-z[T;0])dx +\displaystyle\int_{Q_T}(N u\mathcal{X_{\omega_T}}+p)(v-u)dx dt$$

$$- \displaystyle\int_{Q_T} p\left\{(\dot{z}[t;v-u]-\dot{z}[t;0])- \xi(z[t;v-u]-z[t;0])\right\}dx dt\;\geq\;0.$$ (5)

Siendo $z[0;v-u]-z[0;0]=0$ y integrando por partes en la última integral de (4.2) se obtiene

$$-\displaystyle\int_{Q_T} p\left(\dot{z}[t;v-u]-\dot{z}[t;0]\right... ...-z[t;0]\right) -\displaystyle\int_{\Omega} p(x;T)\left(z[T;v-u]-z[T;0]\right).$$

De otro lado, de la definición de $\xi$ e tomando $w=v-u$ tenemos en (4.2)

$$\displaystyle\int_{Q_T} p\;\xi(z[t;w]-z[t;0])=\displaystyle\int_{Q_T} p\;(D\Delta -\beta.\nabla +\lambda)(z[t;w]-z[t;0]).$$ (6)

A seguir simplificamos (4.3).

$$\displaystyle \int_{Q_T}p\;\Delta (z[t;w]-z[t;0])=\displaystyle \... ...\Gamma_N\times(0,T)}\frac{\partial p}{\partial \nu} \left(z[t;w]- z[t;0]\right)$$ (7)

$$\displaystyle \int_{Q_T}p\;\beta\cdot\nabla(z[t;w]-z[t;0])= \disp... ...;0])\beta\cdot\nu -\displaystyle \int_{Q_T}\;(z[t;w]-z[t;0])\beta\cdot\nabla p.$$ (8)

Luego, sustituyendo (4.4) y (4.5) en (4.3) se obtiene:

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{Q_T} p\xi(z[t;w]-z[t;0... ...{\partial\nu}+p\beta\cdot\nu\right)(z[t;w]-z[t;0]). \end{array}$$

Con el objetivo de simplificar (4.2) y basado en la última igualdad, definimos el multiplicador de Lagrange $p\in L^2(0,T; V)$ siendo la única solución del problema adjunto

$$(S_a)\left\{ \begin{array}{rccl} p_t+D\Delta p + \beta\cdot\... ...\nu&=&0&\mbox{sobre}\; \Gamma_N\times(0,T). \end{array}\right.$$

Por tanto la derivada de Gateux en (4.2) se reduce a

$$\displaystyle\int_{Q_T}(N u\mathcal{X_{\omega_T}}+p)(v-u)dx dt\;\geq\;0 \quad\forall\;v\in\mathcal{U}_{ad}.$$ (9)

Probando de esta manera el siguiente teorema.

Teorema 3   $\{u,y\}$ es solución del problema $(P)$ si y solamente si, existe un multiplicador de Lagrange $p \in L^2(0,T; V\cap H^2(\Omega))\;\cap\; C^0(0,T; H^1(\Omega))\;\cap\; C^1(0,T; L^2(\Omega))$, solución del sistema $(S_a)$, $y$ satisface el sistema $(S)$ y $u$ es caracterizado por la condición de optimalidad (4.6).

Lema 2   Si $u\in \mathcal{U}_{ad}$ verifica la condición de optimalidad (4.6), entonces

$$u=\phi+\left(\phi+\frac{p}{N}\right)^-$$   en$$\;\omega_T,$$

donde $(\phi)^-=\sup\{-\phi,0\}$ denota la parte negativa de $\phi.$

Demostración. Tomando $v=\phi\in\mathcal{U}_{ad}$ en (4.6) tenemos

$$\displaystyle\int_{Q_T}(N u\mathcal{X_{\omega_T}}+p)(\phi-u)\;dx dt\;\geq\;0 \quad\;u\in\mathcal{U}_{ad}.$$ (10)

Considerando $v=2u-\phi \in\mathcal{U}_{ad}$ en (4.6), obtenemos

$$\displaystyle\int_{Q_T}(N u\mathcal{X_{\omega_T}}+p)(u-\phi)\;dx dt\;\geq\;0 \quad\;u\in\mathcal{U}_{ad}.$$ (11)

Luego, de (4.7) y (4.8) se obtiene

$$\displaystyle\int_{Q_T}(N u\mathcal{X_{\omega_T}}+p)(u-\phi)\;dx dt\;=\;0.$$ (12)

Escogiendo $w=u-\phi\geq 0$, tenemos de (4.8)

$$\displaystyle\int_{Q_T}(N w\mathcal{X_{\omega_T}}+N \phi\mathcal{X_{\omega_T}}+p)w\;dx dt\;\geq\;0,$$

y siendo $w\geq 0$, tenemos

$$w\geq -\left(\phi+\dfrac{p}{N}\right) \; \omega_T.$$ (13)

De (4.9), concluímos que

$$\displaystyle\int_{Q_T}(N w\mathcal{X_{\omega_T}}+N \phi\mathcal{X_{\omega_T}}+p)w\;dx dt\;=\;0.$$

Por tanto

$$w=0 \quad Q_T,$$ (14)

o

$$w=-\left(\phi+\dfrac{p}{N}\right), \; \omega_T.$$ (15)

De (4.10), (4.11) y (4.12) se obtiene

$$w=\sup\left\{ 0, -\left(\phi+\dfrac{p}{N}\right)\right\}= \left(\phi+\dfrac{p}{N}\right)^-.$$

Por tanto, concluimos que en $\omega_T$

$$u=\phi+\left(\phi+\dfrac{p}{N}\right)^-.$$

$\qedsymbol$

Los resultados encontrados en los teoremas anteriores y el Lema 2 prueban la validez del resultado principal de este trabajo que caracteriza al control óptimo que enunciamos a seguir.

Teorema 4   $\{u,y\}$ es solución del problema $(P)$ si y solamente si, existe un multiplicador de Lagrange $p \in L^2(0,T; V\cap H^2(\Omega))\;\cap\; C^0(0,T; H^1(\Omega))\;\cap\; C^1(0,T; L^2(\Omega))$, tal que $u, y$ satisfacen el sistema $(S)$, $p$ es definido como solución del sistema adjunto $(S_a)$ e $u$ es caracterizado por la condición de optimalidad

$$u=\phi+\left(\phi+\dfrac{p}{N}\right)^-\quad{en}\quad\omega_T.$$