Métricas e Aplicações em Codificação

Um conjunto não-vazio, $\mathbb{E}$, é denominado espaço métrico se existir uma função $d:\mathbb{E} \times \mathbb{E} \longrightarrow \mathbb{R}$, chamada métrica, satisfazendo as seguintes condições:

(1) $d(x,y) \geq 0$ e $d(x,y) = 0$ se, e somente se, $x=y, \forall x, y \in \mathbb{E}$.

(2) $d(x,y)=d(y,x), \forall x, y \in \mathbb{E}$.

(3) $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z), \forall x, y, z \in \mathbb{E}$.

$(\mathbb{E}, d)$ denota o espaço métrico $\mathbb{E}$, munido da métrica $d$.

Por exemplo, se para todo $x, y \in \mathbf{R}$ definimos $d(x,y)=\vert x-y\vert$, temos que $d$ satisfaz as condições (1), (2) e (3) acima, ou seja, $(\mathbb{R}, \vert\cdot \vert)$ é um espaço métrico. Esta métrica é a métrica usual da reta real.

Dizemos que um espaço métrico $(\mathbb{E}, d)$ é discreto se todo elemento $x \in \mathbb{E}$ é isolado, ou seja, quando existe uma bola aberta em torno do ponto $x$ contendo unicamente o próprio ponto $x$. Se $d$ é uma métrica discreta, então o espaço métrico $(\mathbb{E}, d)$ é dito discreto. Por exemplo, o conjunto dos inteiros $\mathbb{Z}$, com a métrica induzida da reta real, é um espaço discreto.

Dado $\mathbb{E}$ um conjunto qualquer, sempre é possível definir uma métrica $d$, chamada métrica discreta, na forma:

$$d(x,y) =\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \ se \ \ x=y \\ 1, & \ se \ \ x \neq y. \end{array} \right.$$

No espaço $n$-dimensional $\mathbb{E}^{n}$, para $x, y \in \mathbb{E}^{n}$, definimos

$$d_{H}(x,y)= card \{i: x_{i} \neq y_{i}, 1 \leq i \leq n\}.$$

Verifica-se então que $d_{H}$ é uma métrica em $\mathbb{E}^{n}$ (métrica de Hamming).

Por exemplo, em $\mathbb{Z}_2^3 = \{0,1\}^{3}$, temos $d(000,111)=3, \ d(001,111)=2, \ d(100,110)= 1$.

No caso do corpo finito $\mathbb{E}=\mathbb{Z}_{q}$, para $x \in \mathbb{Z}_{q}^{n}$, definimos o peso de Lee por $\omega_{L}(x)= \sum_{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert$, onde

$$\vert x_{i}\vert =\left\{ \begin{array}{ll} x_{i}, & se \... ...-x_{i}, & se \ \ q/2 < x_{i} \leq q-1. \end{array} \right.$$

A distância de Lee entre $x, y \in \mathbb{Z}_{q}^{n}$ é dada por $d_{L}(x,y)= \omega_{L}(x-y)$. Verifica-se também que $d_L$ é uma métrica.

Observação: A métrica de Hamming é utilizada em códigos binários. Por outro lado, a métrica de Lee é utizada em códigos provenientes de constelação de sinais $MPSK$, ou seja, quando os sinais estão igualmente espaçados sobre um círculo. Caso a constelação esteja sobre ${\mathbb{R}}^{2}$, o circulo em questão é uma circunferência. Em ambos casos, o uso destas métricas auxíliam a detecção e correção de possíveis erros que possam ocorrer em uma transmissão de informação.